Question

已知函數(shù)f（x）=

2

mcos²(x+

3

4

π)-

1

2

sin2x．
（1）若m=1，求函數(shù)f（x）的最值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

4

，

π

2

]上的最小值等于2，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=

2

cos²(x+

3

4

π)-

1

2

sin2x=

2

2

+

2 -1

2

sin2x，結(jié)合-1≤sin2x≤1可求
（2）利用二倍角公式、輔助角公式、誘導(dǎo)公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)f（x）=

2

cos²(x+

3

4

π)-

1

2

sin2x=

2 m

2

+

2 m-1

2

sin2x結(jié)合x的范圍可求，sin2x的范圍，結(jié)合

2

m- 1的正負(fù)可求函數(shù)取得最小值時(shí)的m

解答：解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=

2

cos²(x+

3

4

π)-

1

2

sin2x
=

2

2

[1+cos(2x+

3π

2

)] -

1

2

sin2x
=

2

2

+

2 -1

2

sin2x
∵-1≤sin2x≤1
∴

1

2

≤f(x)≤

2

-

1

2

∴函數(shù)的最大值為

2

-

1

2

，最小值為

1

2

（2）∵f（x）=

2

cos²(x+

3

4

π)-

1

2

sin2x=

2 m

2

[1+cos(2x+

3π

2

)]-

1

2

sin2x
=

2 m

2

+

2 m-1

2

sin2x
∵

π

4

≤x≤

π

2

∴

π

2

≤2x≤π，0≤sin2x≤1
當(dāng)m≥

2

2

時(shí)，由題意可得

2

2

m=2，則m=2

2

當(dāng)m＜

2

2

時(shí)，由題意可得

2

m-

1

2

=2，此時(shí)m不存在
綜上可得m=2

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了二倍角公式、輔助角公式及誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)的靈活應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵