已知銳角三角形ABC中，sin（A+B）=
3
5
，sin（A-B）=
1
5
．
（Ⅰ）求證：tanA=2tanB；
（Ⅱ）設AB=3，求AB邊上的高．
分析：（1）把角放在銳角三角形中，使一些運算簡單起來，本題主要考查兩角和與差的正弦公式，根據(jù)分解后的結構特點，解方程組，做比得到結論．
（2）同角的三角函數(shù)之間的關系，換元解方程在直角三角形中，用定義求的結果
解答：（I）證明：∵sin（A+B）=
3
5
，sin（A-B）=
1
5
，
∴sinAcosB+cosAsinB=
3
5
，sinAcosB-cosAsinB=
1
5
，
∴sinAcosB=
2
5
，cosAsinB=
1
5
，
∴tanA=2tanB．
（2）解：∵
π
2
＜A+B＜π，sin(A+B)=
3
5
，∴cos(A+B)=-
4
5
，tan(A+B)=-
3
4

即
tanA+tanB
1-tanAtanB
=-
3
4
，將tanA=2tanB代入上式并整理得2tan2B-4tanB-1=0
解得tanB=
2±
6
2
，因為B為銳角，所以tanB=
2+
6
2
，∴tanA=2tanB=2+
6
．
設AB上的高為CD，則AB=AD+DB=
CD
tanA
+
CD
tanB
=
3CD
2+
6
，由AB=3得CD=2+
6

故AB邊上的高為2+
6
．
點評：以銳角三角形為載體，應用同角三角函數(shù)之間的關系，應用兩角和與差的正弦公式，求解過程中應用代數(shù)方法解題，構造直角三角形用銳角三角函數(shù)解決問題，這種問題做起來有一定難度．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知銳角三角形△ABC內(nèi)角A、B、C對應邊分別為a，b，c．tanA=
3
bc
b2+c2-a2
．
（Ⅰ）求A的大��；
（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知銳角三角形ABC中，定義向量
m
=（sinB，-
3
），
n
=（cos2B，4cos2
B
2
-2），且
m
∥
n

（1）求函數(shù)f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若b=1，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知銳角三角形ABC中內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．
（1）求角C的值；
（2）設函數(shù)f(x)=sin(ωx-
π
6
)-cosω
x
 
 
(ω＞0)，且f（x）圖象上相鄰兩最高點間的距離為π，求f（A）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•盧灣區(qū)二模）（文）已知銳角三角形ABC的三邊為連續(xù)整數(shù)，且角A、B滿足A=2B．
（1）當
π
5
＜B＜
π
4
時，求△ABC的三邊長及角B（用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求△ABC的面積S．

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