Question

已知定義域?yàn)镽上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足，對(duì)任意的x，y，恒有f(x-y)=

f(x)

f(y)

且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f(x)＜1，
（1）求證f（0）=1，且當(dāng)x＜0時(shí)有f（x）＞1．
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性并證明．
（3）若對(duì)任意的x∈R，不等式f（ax²）•f（1-ax）＞f（2）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在恒等式中，令x=y=0，即可得到f（0）的值，利用恒等式找到f（x）與f（-x）之間的關(guān)系，利用x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，即可得到當(dāng)x＜0時(shí)有f（x）＞1；
（2）利用恒等式將不等式f（ax²）•f（1-ax）＞f（2）轉(zhuǎn)化為f（ax²-ax+1）＞f（2），再利用函數(shù)的單調(diào)性，可以得到ax²-ax+1＜2對(duì)x∈R恒成立，利用函數(shù)的性質(zhì)，列出不等關(guān)系，求解即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：證明：（1）∵已知定義域?yàn)镽上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足，對(duì)任意的想x，y，恒有f(x-y)=

f(x)

f(y)

，
∴令x=y=0，可得f(0)=

f(0)

f(0)

=1，即f（0）=1，
再令x=0，可得f(-y)=

f(0)

f(y)

=

1

f(y)

，
∴f(y)=

1

f(-y)

，即f（x）=

1

f(-x)

，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∵x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，
∴0＜f（-x）＜1，
∴f（x）=

1

f(-x)

＞1，
故f（0）=1，且當(dāng)x＜0時(shí)有f（x）＞1；
（2）f（x）在R上遞減，
證明如下：設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵f(x-y)=

f(x)

f(y)

，且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，
∴

f(x2)

f(x1)

=f(x2-x1)＜1，又f(x1)＞0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上遞減；
（3）∵f(x-y)=

f(x)

f(y)

，
∵f(x+y)=f[x-(-y)]=

f(x)

f(-y)

=f(x)f(y)，
∴f（ax²）•f（1-ax）=f（ax²-ax+1）＞f（2）對(duì)x∈R恒成立，
由（2）可知，f（x）在R上單調(diào)遞減，
∴ax²-ax+1＜2對(duì)x∈R恒成立，即ax²-ax-1＜0對(duì)x∈R恒成立，
①當(dāng)a=0時(shí)，-1＜0恒成立，符合題意；
②當(dāng)a≠0時(shí)，則有

a＜0 △=a2+4a＜0

，
∴-4＜a＜0．
綜合①②，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-4，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的恒成立問(wèn)題．證明函數(shù)的單調(diào)性要抓住函數(shù)單調(diào)性的定義，函數(shù)的恒成立問(wèn)題一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．屬于中檔題．