Question

10．如圖，正方體AC₁的棱長為1，過點A作平面A₁BD的垂線，垂足為點H．則以下命題中，真命題的編號是①②③（寫出所有真命題的編號）
①點H是△A₁BD的垂心    
②AH垂直平面CB₁D₁
③AH的延長線經過點C₁
④直線AH和BB₁所成角為45°
⑤平面A₁BD與底面A₁B₁C₁D₁所成的角為60°．

Answer 1

分析 首先，判斷三棱錐 A-BA₁D為正三棱錐，然后，得到△BA₁D為正三角形，得到H為A在平面A₁BD內的射影，然后，根據(jù)平面A₁BD與平面B₁CD₁平行，得到選項B正確，最后，結合線面角和對稱性求解

解答 解：∵AB=AA₁=AD，
BA₁=BD=A₁D，
∴三棱錐 A-BA₁D為正三棱錐，
∴點H是△A₁BD的垂心；
故①為真命題；
∵平面A₁BD與平面B₁CD₁平行，
∵AH⊥平面A₁BD，
∵平面A₁BD⊥平面BC₁D，
∴AH垂直平面CB₁D₁，
故②為真命題；
根據(jù)正方體的對稱性得到
AH的延長線經過C₁，
故③為真命題
對于選項C，
∵AA₁∥BB₁，
∴∠A₁AH就是直線AH和BB₁所成角，
在直角三角形AHA₁中，
∵AA₁=1，A₁H=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sin∠A₁AH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故④為假命題；
AH與底面A₁B₁C₁D₁所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴θ=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由AH垂直平面A₁BD，
可得平面A₁BD與底面A₁B₁C₁D₁所成的角為90°-arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$≠60°．
故⑤為假命題；
故答案為：①②③．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了正方體的幾何特征，線面垂直，直線與平面的夾角，二面角等知識點，難度中檔．