Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=1，函數(shù)f（x）的圖象能否總在直線y=b的下方？說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求出函數(shù)解析式，然后進(jìn)行賦值，令x=-1，可得f（-1）=b+2＞b，從而說明f（-1）在直線y=b的上方，得到結(jié)論；
（Ⅱ）先求出導(dǎo)函數(shù)，然后求出導(dǎo)函數(shù)的根，討論a的取值范圍分別求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，使（0，2）是增區(qū)間的子集即可．

解答：解（Ⅰ）：當(dāng)a=1時，f（x）=-x³+ax²+b，
因為f（-1）=b+2＞b，
所以，函數(shù)f（x）的圖象不能總在直線y=b的下方．
（Ⅱ）由題意，得f'（x）=-3x²+2ax，
令f′（x）=0，解得x=0或x=

2

3

a，
當(dāng)a＜0時，由f′（x）＞0，解得

2a

3

＜x＜0，
所以f（x）在（

2a

3

，0）上是增函數(shù)，與題意不符，舍去；
當(dāng)a=0時，由f'（x）=-3x²≤0，與題意不符，舍去；
當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0，解得0＜x＜

2a

3

，
所以f（x）在（0，

2a

3

）上是增函數(shù)，
又f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，
所以

2a

3

≥ 2，解得a≥3，
綜上，a的取值范圍為[3，+∞）．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)與方程的綜合運用，屬于基礎(chǔ)題．