已知f(x)=
,a≠b,
求證：|f(a)-f(b)|＜|a-b|.
方法一 ∵f(a)=
,f(b)=
,
∴原不等式化為|
-
|＜|a-b|.
∵|
-
|≥0，|a-b|≥0，
∴要證|
-
|＜|a-b|成立,
只需證（
-
）
2＜(a-b)
2.
即證1+a
2+1+b
2-2
＜a
2-2ab+b
2,
即證2+a
2+b
2-2
＜a
2-2ab+b
2.
只需證2+2ab＜2
，
即證1+ab＜
.
當1+ab＜0時，∵
＞0,
∴不等式1+ab＜
成立.
從而原不等式成立.
當1+ab≥0時，要證1+ab＜
,
只需證(1+ab)
2＜（
）
2,
即證1+2ab+a
2b
2＜1+a
2+b
2+a
2b
2,即證2ab＜a
2+b
2.
∵a≠b,∴不等式2ab＜a
2+b
2成立.∴原不等式成立.
方法二 ∵|f（a）-f（b）|=|
-
|
=
=
，
又∵|a+b|≤|a|+|b|=
+
＜
+
，
∴
＜1.
∵a≠b,∴|a-b|＞0.∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|.
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.
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a
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，且
，求證：
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.
.
