Question

 (本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)

已知為坐標原點，為橢圓：在軸正半軸上的焦點，過且斜率為的直線與交與、兩點，點滿足.

(I)證明：點在上；

(II)設點關于點的對稱點為，證明：、、、四點在同一圓上.

 

 

Answer 1

【答案】

 【命題意圖】本題考查直線方程、平面向量的坐標運算、點與曲線的位置關系、曲線交點坐標求法及四點共圓的條件。

【解析】(I),的方程為,代入并化簡得

.                  …………………………2分

設,

則

   由題意得

所以點的坐標為.

經驗證點的坐標滿足方程,故點在橢圓上 …6分

(II)由和題設知，，的垂直平分線的方程為

.                        ①

設的中點為,則,的垂直平分線的方程為

.                       ②

由①、②得、的交點為.         …………………………9分

,

,

,

,

,

故     ,

又      , ,

所以    ,

由此知、、、四點在以為圓心,為半徑的圓上. ……………12分

【點評】本題涉及到平面微向量，有一定的綜合性和計算量，完成有難度. 首先出題位置和平時模擬幾乎沒有變化，都保持全卷倒數第二道題的位置，這點考生非常適應的。相對來講比較容易，是因為這道題最好特點沒有任何的未知參數，我們看這道題橢圓完全給出，直線過了橢圓焦點，并且斜率也給出，平時做題斜率不給出，需要通過一定條件求出來，或者根本求不出來，這道題都給了，反而同學不知道怎么下手，讓我求什么不知道，給出馬上給向量條件，出了兩道證明題，這個跟平時做的不太一樣，證明題結論給大家，需要大家嚴謹推導出來，可能敘述的時候有不嚴謹的地方。這兩問出的非常巧妙，非常涉及解析幾何本質的內容，一個證明點在橢圓上的問題，還有一個疑問既然出現四點共圓，這都是平時很少涉及內容。從側面體現教育深層次的問題，讓學生掌握解析幾何的本質，而不是把套路解決。其實幾年前上�？嫉浇馕鰩缀伪举|問題，最后方法用代數方法研究幾何的問題，什么是四點共圓？首先在同一個圓上，首先找到圓心，四個點找圓形不好找，最簡單的兩個點怎么找？這是平時的知識，怎么找距離相等的點，一定在中垂線，兩個中垂線交點必然是圓心，找到圓心再距離四個點距離相等，這就是簡單的計算問題。方法確定以后計算量其實比往年少.