Question

11．求證：直角坐標(biāo)平面上的格點(diǎn)凸七邊形（每個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)--縱、橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的內(nèi)部最少包含四個(gè)格點(diǎn)．

Answer 1

分析 不妨設(shè)格點(diǎn)凸七邊形ABCDEFG的各邊的內(nèi)部都沒有格點(diǎn)，再由五邊形AMEFG可確定另一個(gè)格點(diǎn)，從而推導(dǎo)出結(jié)論．

解答 解：首先，不妨設(shè)格點(diǎn)凸七邊形ABCDEFG的各邊的內(nèi)部都沒有格點(diǎn)（否則，如FG的內(nèi)部有一個(gè)格點(diǎn)H，
則用七邊形ABCDEFH）代替原來的七邊形，由于格點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，故這種過程一定會(huì)在某一步終止）．
其次，任何五個(gè)格點(diǎn)或五個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)按奇偶性分類，至多有四類：（奇，奇）（奇，偶）（偶，偶）（偶，奇）．
故必有五個(gè)頂點(diǎn)中的某兩個(gè)點(diǎn)屬于一類，這兩點(diǎn)的中點(diǎn)M也是格點(diǎn)，且點(diǎn)M在凸七邊形的內(nèi)部．
考慮A、B、C、D、E這五個(gè)格點(diǎn)，其中某兩點(diǎn)的中點(diǎn)M也是格點(diǎn)，且點(diǎn)M在凸七邊形ABCDEFG的內(nèi)部．
同理，由格點(diǎn)五邊形AMEFG可確定另一個(gè)格點(diǎn)N，也在七邊形ABCDEFG的內(nèi)部．
直線MN將平面分為兩部分，其中必有某一側(cè)至少含有格點(diǎn)凸七邊形的三個(gè)頂點(diǎn)．
不妨設(shè)A、B、G在MN的同一側(cè)，則由凸五邊形ABMNG知，七邊形ABCDEFG的內(nèi)部還有第三個(gè)格點(diǎn)P．
（1）若MN的另一側(cè)也含有七邊形ABCDEFG的三個(gè)頂點(diǎn)，同理可得第四個(gè)格點(diǎn)Q，
（2）若MN的另一側(cè)至多含兩個(gè)頂點(diǎn)D和E，則C、F在直線MN上或與A、B、G在MN的同一側(cè)，
這時(shí)又有兩種情況：
（i）若點(diǎn)P不在△ABM內(nèi)，則A、B、C、M、P組成凸五邊形，故可得第四個(gè)格點(diǎn)Q，
（ii）若點(diǎn)P在△ABM內(nèi)（或邊上），則A、P、N、F、G組成凸五邊形，故可得第四個(gè)格點(diǎn)Q．
另一方面，凸七邊形的內(nèi)部包含四個(gè)格點(diǎn)的圖象如下，
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點(diǎn)評(píng) 本題考查了歸納推理的應(yīng)用，屬于難題．