Question

11．如圖，直線ED與圓相切于點(diǎn)D，且平行于弦BC，連接EC并延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn)A，弦BC和AD相交于點(diǎn)F．
（I）求證：AB•FC=AC•FB；
（Ⅱ）若D、E、C、F四點(diǎn)共圓，且∠ABC=∠CAB，求∠BAC．

Answer 1

分析 （I）連接CD，證明：△CFD∽△ACD，得到$\frac{CF}{AC}=\frac{BF}{BA}$，即可證明AB•FC=AC•FB；
（Ⅱ）證明∠ACF=∠CFA．∠EAD=∠DAB，即可求∠BAC．

解答 （I）證明：連接CD，
∵直線ED與圓相切于點(diǎn)D，
∴∠EDC=∠EAD，
∵ED∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∴∠EAD=∠DCB，
∴∠CAD=∠DCF，
∵∠CDF=∠ADC，
∴△CFD∽△ACD，
∴$\frac{CF}{AC}=\frac{BF}{BA}$，
∴AB•FC=AC•FB；
（Ⅱ）解：∵D、E、C、F四點(diǎn)共圓，
∴∠CFA=∠CED，
∵ED∥BC，
∴∠ACF=∠CED，
∴∠ACF=∠CFA．
由（I）可知∠EAD=∠DCB，∠DCB=∠DAB，
∴∠EAD=∠DAB，
設(shè)∠EAD=∠DAB=x，則∠ABC=∠CAB=2x，
∴∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，
在等腰△ACF中，∠CFA+∠ACF+∠CAF=π=7x，
∴x=$\frac{π}{7}$
∴∠BAC=2x=$\frac{2π}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查四點(diǎn)共圓，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．