已知定義在(-∞,—1)∪(1,+∞)上的奇函數(shù)滿足:①f(3)=1;②對(duì)任意的x>2, 均有f(x)>0,③對(duì)任意的x>0,y>0.均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1)
⑴試求f(2)的值;
⑵證明f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增;
⑶是否存在實(shí)數(shù)a,使得f(cos2θ+asinθ)<3對(duì)任意的θ(0,π)恒成立?若存在,請(qǐng)求出a的范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
1)f(2)=0; 2) 見(jiàn)解析;
3)存在實(shí)數(shù)a∈(1,9),使得對(duì)任意的θ∈(0,π)恒成立.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x,y都有均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1),令x=1,y=1,即可求出f(2)的值;
(2)由于函數(shù)沒(méi)有具體解析式,要證其在(1,+∞)上為增函數(shù),只能從條件;②對(duì)任意的x>2均有f(x)>0和條件③對(duì)任意的x>0,y>0,均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1)入手,取代入條件③,整理變形后借助于條件②可證出結(jié)論.
(3)令x=2,y=2,代入求得f(5),令x=2,y=4,代入求得f(9),
又,可得,根據(jù)條件②判斷函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)已知條件把f(cos2θ+asinθ)<3化為cos2θ+asinθ<或1<cos2θ+asinθ<9,對(duì)任意的θ∈(0,π)恒成立,換元和分離參數(shù)即可求得a的范圍..
1)令X=Y=1得f(2)+f(2)=f(2),∴f(2)=0…………(2分)
2) 任取X1>1,X2>1,X2>X1,則有 從而,
即
∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增……………(8分)
3)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),且在(1,+∞)上單調(diào)遞增,令X=Y=2,得f(5)=f(3)+f(3)=2,再令X=2,Y=4,得f(9)=f(3)+f(5)=3,
由因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以,于是f(x)<3的解集為;
(-∞,-)∪(1,9),于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為是否存在實(shí)數(shù)a,使對(duì)任意的θ∈(0,π)恒成立,令sinθ=t,則t∈(0,1]于是恒成立等價(jià)于恒成立.即恒成立,當(dāng)t→0時(shí),,故不存在實(shí)數(shù)a使對(duì)任意的
θ∈(0,π)恒成立.
1<cos2θ+asinθ<9恒成立等價(jià)于恒成立,得a>1,
t2-at+8>0,t∈(0,1]等價(jià)于,在(0,1]單調(diào)遞減,于是g(t)min=9,故a<9 于是存在a∈(1,9)使1<cos2θ+asinθ<9 對(duì)任意的θ∈(0,π)恒成立.
綜上知,存在實(shí)數(shù)a∈(1,9),使得對(duì)任意的θ∈(0,π)恒成立.……………………(14分).
考點(diǎn):抽象函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,函數(shù)恒成立問(wèn)題.
點(diǎn)評(píng):此題是個(gè)難題,考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性,并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想,在轉(zhuǎn)化過(guò)程中一定注意函數(shù)的定義域.解決抽象函數(shù)的問(wèn)題一般應(yīng)用賦值法.特別是問(wèn)題(3)的設(shè)問(wèn)形式,增加了題目的難度,綜合性強(qiáng).
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x |
1 |
x |
f2(x)-2x |
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S2 |
2 |
S3 |
3 |
Sn |
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