Question

如圖，△ABC的內(nèi)切圓與三邊AB、BC、CA的切點(diǎn)分別為D、E、F，已知B（-，C，內(nèi)切圓圓心I（1，t）．設(shè)A點(diǎn)的軌跡為L
（1）求L的方程；
（2）過點(diǎn)C作直線m交曲線L于不同的兩點(diǎn)M、N，問在x軸上是否存在一個(gè)異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q．使對任意的直線m都成立？若存在，求出Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由切線長定理得，從一點(diǎn)出發(fā)的切線長相等，得到A點(diǎn)到兩個(gè)點(diǎn)B，C的距離之差是常數(shù)，根據(jù)雙曲線的定義得A點(diǎn)的軌跡是雙曲線，從而即可求出L的方程；
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)Q（x，0），再設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由條件得∠MQC=∠NQC，下面分類討論：①當(dāng)MN⊥x，②當(dāng)MN不垂直x時(shí)，第一種情況比較簡單，對于第二種情況，將直線的方程代入雙曲線方程，消去y得到關(guān)于x的二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用斜率相等求得，從而說明存在點(diǎn)Q．
解答：解：（1）由題意|AD|=|AF|．|BD|=|BE|，|CE|=|CF|．
∴|AB|-|AC|=|BD|-|CF|=|BE|-|CE|=|BO|+|OE|-（|OC|-|OE|）=2|OE|
I（1，t），E（1，0），|OE|=1，|AB|-|AC|=2
x²-y²=1（x＞1）
（2）設(shè)點(diǎn)Q（x，0），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵???∠MQC=∠NQC
（6分）
于是：①當(dāng)MN⊥x，點(diǎn)Q（x，0）在x上任何一點(diǎn)處，都能夠使得：
∠MQC=∠NQC成立，（8分）
②當(dāng)MN不垂直x時(shí)，設(shè)直線．
由得：
則：
∴
∵，要使∠MQC=∠NQC成立，
只要tan∠MQC=tan∠NQC：⇒x₂y₁-xy₁+x₁y₂-xy₂=0
即=
∴⇒∴當(dāng)時(shí)，能夠使：
對任意的直線m成立．（15分）
點(diǎn)評：本題主要考查了軌跡方程、直線與圓錐曲線的交點(diǎn)等知識，屬于中檔題．