Question

10．如圖，在棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AB、DD₁的中點(diǎn)，點(diǎn)P是DD₁上一點(diǎn)，且PB∥平面CEF，則四棱錐P-ABCD外接球的體積為$\frac{41\sqrt{41}}{6}π$．

Answer 1

分析 連結(jié)BD交CE于O，連結(jié)OF，則當(dāng)BP∥OF時，PB∥平面CEF，推導(dǎo)出DP=3，四棱錐P-ABCD外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，從而求出四棱錐P-ABCD外接球的半徑，由此能求出四棱錐P-ABCD外接球的體積．

解答 解：連結(jié)BD交CE于O，則$\frac{BO}{OD}=\frac{BE}{CD}=\frac{1}{2}$，
連結(jié)OF，則當(dāng)BP∥OF時，PB∥平面CEF，則$\frac{PF}{FD}=\frac{1}{2}$，
∵F是DD₁的中點(diǎn)，DD₁=4，∴DP=3，
又四棱錐P-ABCD外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，
∴四棱錐P-ABCD外接球的半徑為：R=$\frac{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}+{4}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{41}}{2}$，
∴四棱錐P-ABCD外接球的體積為：
V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{41\sqrt{41}}{6}π$．
故答案為：$\frac{41\sqrt{41}}{6}π$．

點(diǎn)評 本題考查四棱錐外接球的體積的求法，考查正方體、四棱錐、球等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．