Question

如圖所示，正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：BD₁∥平面A₁DE；
（2）求：DE與面A₁D₁B成角余弦值；
（3）在線段AB上是否存在點(diǎn)M，使二面角D₁-MC-D的大小為

π

4

？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）連結(jié)AD₁，交A₁D于點(diǎn)O，由EO為△ABD₁的中位線，能證明BD₁∥平面A₁DE．
（2）以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出DE與面A₁D₁B成角余弦值．
（3）設(shè)在線段AB上是否存在點(diǎn)M，使二面角D₁-MC-D的大小為

π

4

，設(shè)M（1，y₀，0），（0≤y₀≤2），求出平面D₁MC的法向量，利用向量法能求出AM的長(zhǎng)是2-

3

．

解答： （1）證明：連結(jié)AD₁，交A₁D于點(diǎn)O，
∵四邊形ADD₁A₁為正方形，
∴O是AD₁的中點(diǎn)，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接OE．
∴EO為△ABD₁的中位線，∴EO∥BD₁，
又∵BD₁不包含于平面A₁DE，OE?平面A₁DE，
∴BD₁∥平面A₁DE．
（2）解：由題意可得：D₁D⊥平面ABCD，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，
DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，
AB=2AD=2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴D（0，0，0），E（1，1，0），B（1，2，0），
A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），
∴

DE

=(1，1，0)，

BA1

=(0，-2，1)，

BD1

=(-1，-2，1)，
設(shè)平面A₁B₁D的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m • BA1 =-2y+z=0 m • BD1 =-x-2y+z=0

，
取y=1，得

m

=（0，1，2），
設(shè)直線DE與面A₁D₁B所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

DE

，

m

＞|=|

1

2 • 5

|=

10

10

．
∴cosθ=

1- 1 10

=

3 10

10

．
∴DE與面A₁D₁B成角余弦值為

3 10

10

．
（3）解：設(shè)在線段AB上是否存在點(diǎn)M，使二面角D₁-MC-D的大小為

π

4

，
設(shè)M（1，y₀，0），（0≤y₀≤2），
∵D₁（0，0，1），C（0，2，0），
∴

CM

=（1，y₀-2，0），

CD1

=（0，-2，1），
設(shè)平面D₁MC的法向量為

n

=（x₁，y₁，z₁），
則

n • CM =x1+(y0-2)y1=0 n • CD1 =-2y1+z1=0

，
取x₁=2-y₀，得

n

=（2-y₀，1，2），
∵平面ECD的一個(gè)法向量為

p

=（0，0，1），
∵二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

，
∴cos＜

n

，

p

＞=

2

(2-y0)2+1+4

=

2

2

，
解y₀=2-

3

，∴M（1，2-

3

，0），A（1，0，0），
∴|

AM

|=2-

3

，
故線段AB上是存在點(diǎn)M（1，2-

3

，0），
使二面角D₁-MC-D的大小為

π

4

，AM的長(zhǎng)是2-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的證明，用空間向量求平面間的夾角，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面平行的判定，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．