Question

等比數(shù)列{c_n}滿足的前n項和為S_n，且a_n=log₂c_n．
（I）求a_n，S_n；
（II）數(shù)列的前n項和，是否存在正整數(shù)m，k（1＜m＜k），使得T₁，T_m，T_k成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知令n=1，n=2可求，c₁+c₂，c₂+c₃，從而可求公比q，及c₁，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求c_n，進而可求a_n，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求s_n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用裂項可求T_n，然后結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求滿足條件的m，k
解答：解：（Ⅰ）由已知令n=1，n=2可得，c₁+c₂=10，c₂+c₃=40，所以公比q=4…（2分）
∴c₁+c₂=c₁+4c₁=10得c₁=2
∴…（4分）
所以…（5分）
由等差數(shù)列的求和公式可得，…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
于是…（9分）
假設(shè)存在正整數(shù)m，k（1＜m＜k），使得T₁，T_m，T_k成等比數(shù)列，則，
可得，所以-2m²+4m+1＞0
從而有，，
由m∈N^*，m＞1，得m=2…（11分）
此時k=12．
當且僅當m=2，k=12時，T₁，T_m，T_k成等比數(shù)列．…（12分）
點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項公式的簡單應(yīng)用，數(shù)列的裂項求和方法的應(yīng)用．