Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C₁：（x-1）²+y²=16，圓C₂：（x+1）²+y²=1，點(diǎn)S為圓C₁上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將坐標(biāo)平面折疊，使得圓心C₂（-1，0）恰與點(diǎn)S重合，折痕與直線SC₁交于點(diǎn)P．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）過(guò)動(dòng)點(diǎn)S作圓C₂的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，求MN的最小值；
（3）設(shè)過(guò)圓心C₂（-1，0）的直線交圓C₁于點(diǎn)A、B，以點(diǎn)A、B分別為切點(diǎn)的兩條切線交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在定直線上．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得|PC₁|+|PC₂|=|PC₁|+|PS|=4＞|C₁C₂|，故P點(diǎn)的軌跡是以C₁、C₂為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，由此可求P點(diǎn)的軌跡方程；
（2）法1（幾何法） 根據(jù)四邊形SMC₂N的面積=，可得，從而SC₂取得最小值時(shí)，MN取得最小值；
法2（代數(shù)法） 設(shè)S（x，y），設(shè)出以SC₂為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，該方程與圓C₂的方程相減得，求出圓心C₂到直線MN的距離，，根據(jù)x∈[-3，5]，求得d_max=，從而可求求MN的最小值；
（3）設(shè)Q（m，n），求出“切點(diǎn)弦”AB的方程，將點(diǎn)（-1，0）代入，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）由題意得|PC₁|+|PC₂|=|PC₁|+|PS|=4＞|C₁C₂|，故P點(diǎn)的軌跡是以C₁、C₂為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，
則2a=4，c=1，所以a=2，，故P點(diǎn)的軌跡方程是．（5分）
（2）法1（幾何法） 四邊形SMC₂N的面積=，
所以，（9分）
從而SC₂取得最大值時(shí)，MN取得最小值，顯然當(dāng)S（-3，0）時(shí)，SC₂取得最大值2，
所以．（12分）
法2（代數(shù)法） 設(shè)S（x，y），則以SC₂為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
該方程與圓C₂的方程相減得，（x+1）x+yy+x=0，（8分）
則圓心C₂到直線MN的距離=，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190633902394801/SYS201310241906339023948017_DA/12.png">，所以，從而，x∈[-3，5]，
故當(dāng)x=-3時(shí)d_max=，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190633902394801/SYS201310241906339023948017_DA/16.png">，所以=．（12分）
（3）設(shè)Q（m，n），則“切點(diǎn)弦”AB的方程為（m-1）（x-1）+ny=16，
將點(diǎn)（-1，0）代入上式得m=-7，n∈R，故點(diǎn)Q在定直線x=-7上．（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線、圓、橢圓基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解、綜合應(yīng)用能力．