Question

已知函數f（x）=x³-x．
（1）設M（λ，f（λ））是函數f（x）圖象上的-點，求點M處的切線方程；
（2）證明：過點N（2，1）可以作曲線，f（x）=x³-x的三條切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），根據切點為M（λ，f（λ））得到切線的斜率為f'（t），所以根據斜率和M點坐標寫出切線方程即可；
（2）如果切點是N（2，1），由（1）知，則存在t使1=2（3t²-1）x-2t³，于是過點N（2，1），可作曲線y=f（x）的三條切線即為方程2t³-6t²+3=0有三個相異的實數根．記g（t）=2t³-6t²+3=0，求出其導函數=0時t的值，利用t的值分區(qū)間討論導函數的正負得到g（t）的單調區(qū)間，利用g（t）的增減性得到g（t）的極值，根據極值分區(qū)間考慮方程g（t）=0有三個相異的實數根，得到g（t）在R上中人有一個極大值3和一個極小值-5，即可得證．
解答：解：（1）求函數f（x）的導函數；f'（x）=3x²-1．
曲線y=f（x）在點M（λ，f（λ））處的切線方程為：y-f（λ）=f'（λ）（x-λ），即y=（3λ²-1）x-2λ³；
（2）如果切點是N（2，1），由（1）知，則存在t，使1=2（3t²-1）x-2t³．
于是方程2t³-6t²+3=0有三個相異的實數根．
記g（t）=2t³-6t²+3，則g'（t）=6t²-12t=6t（t-2）．
當t變化時，g（t），g'（t）變化情況如下表：

由于g（t）在R上中人有一個極大值3和一個極小值-5，故過點N（2，1）可以作曲線，f（x）=x³-x的三條切線．
點評：考查學生會利用導數研究曲線上某點的切線方程，會利用導數研究函數的增減性得到函數的極值．