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證明：函數f（x）=-2x2+1是偶函數，且在[0，+∞）上是減少的．

證明：函數f（x）的定義域為R，
對于任意的x∈R，都有f（-x）=-2（-x）2+1=-2x2+1=f（x），
∴f（x）是偶函數；
在區(qū)間[0，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，則有
f（x1）-f（x2）==2=2（x2+x1）（x2-x1），
∵x1，x2∈[0，+∞），x1＜x2，∴x2-x1＞0，x1+x2＞0，
即2（x2-x1）•（x1+x2）＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在[0，+∞）上是減少的．
分析：利用偶函數、減函數的定義可作出判斷．
點評：本題考查函數單調性、奇偶性的證明，屬基礎題，定義是解決問題的基本方法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=（x-a）2，g（x）=x，x∈R，a為實常數．
（1）若a＞0，設F(x)=
f(x)g(x)
，x≠0，用函數單調性的定義證明：函數F（x）在區(qū)間[a，+∞）上是增函數；
（2）設關于x的方程f（x）=|g（x）|在R上恰好有三個不相等的實數解，求a的值所組成的集合．

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科目：高中數學 來源： 題型：

探究函數f（x）=x+
4
x
，x∈（0，+∞）的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 4.8 7.57 …
請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
（1）函數f（x）=x+
4
x
（x＞0）在區(qū)間
（0，2）
（0，2）
上遞減；并利用單調性定義證明．函數f（x）=x+
4
x
（x＞0）在區(qū)間
（2，+∞）
（2，+∞）
上遞增．當x=
2
2
時，y最小=
4
4
．
（2）函數f（x）=x+
4
x
（x＜0）時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•安徽模擬）定義：對于函數f（x），x∈M⊆R，若f（x）＜f'（x）對定義域內的x恒成立，則稱函數f（x）為?函數．
（Ⅰ）證明：函數f（x）=ex1nx為?函數．
（Ⅱ）對于定義域為（0，+∞）的?函數f（x），求證：對于定義域內的任意正數x1，x2，…，xn，均在f（1n（x1+x2+…+xn））＞f（1nx1）+f（1nx2）．+…+f（1nxn）

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科目：高中數學 來源： 題型：

證明：函數f（x）=lnx+2x-6在區(qū)間（2，3）內有唯一的零點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a∈R，函數f(x)=
1-
1
x
，x＞0
(a-1)x+1，x≤0

（1）證明：函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（2）求函數f（x）的零點．

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