Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過(guò)點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-（a+1）x，其中a∈R，求函數(shù)g（x）在[1，e]上的最小值（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)函數(shù)的定義域進(jìn)行分段討論后，可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，可得切線斜率，從而可表示出切線方程，代入點(diǎn)（0，-1），求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求直線l的方程；
（Ⅲ）求導(dǎo)函數(shù)，可得函數(shù)g（x）在（0，e^a）上單調(diào)遞減，在（e^a，+∞）上單調(diào)遞增，分類討論，可得函數(shù)g（x）在[1，e]上的單調(diào)性，從而可求函數(shù)g（x）在[1，e]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x∈（0，+∞）
又∵當(dāng)f'（x）=lnx+1=0，得x=

1

e

，如下表

∴f（x）在（0，

1

e

）上單調(diào)遞減，在（

1

e

，+∞）上單調(diào)遞增，在x=

1

e

處取得極小值，且極小值為f（

1

e

）=-

1

e

；
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為p（a，b），則b=alna，切線的斜率為lna+1，
∴切線l的方程為y-alna=（lna+1）（x-a），
∵切線l過(guò)點(diǎn)（0，-1），
∴-1-alna=（lna+1）（0-a），
∴a=1，∴b=0，
∴切線l的方程為y=x-1；
（Ⅲ）函數(shù)g（x）=f（x）-（a+1）x=xlnx-（a+1）x，則g′（x）=lnx-a，
由g′（x）=lnx-a＜0，可得0＜x＜e^a；由g′（x）=lnx-a＞0，可得x＞e^a，
∴函數(shù)g（x）在（0，e^a）上單調(diào)遞減，在（e^a，+∞）上單調(diào)遞增．
①e^a≤1，即a≤0時(shí)，g（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴g（x）在[1，e]上的最小值為g（1）=-a-1；
②1＜e^a＜3，即0＜a＜1時(shí)，g（x）在[1，e^a）上單調(diào)遞減，在（e^a，e]上單調(diào)遞增，
∴g（x）在[1，e]上的最小值為g（e^a）=-e^a；
③e≤e^a，即a≥1時(shí)，g（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
∴g（x）在[1，e]上的最小值為g（e）=-ae，
綜上，a≤0時(shí)，g（x）在[1，e]上的最小值為-a-1；
0＜a＜1時(shí)，g（x）在[1，e]上的最小值為-e^a；
a≥1時(shí)，g（x）在[1，e]上的最小值為-ae．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，其中根據(jù)已知條件求出導(dǎo)函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．