過直線y=x上的一點(diǎn)作圓x2+(y-4)2=2的兩條切線L1、L2,當(dāng)L1與L2關(guān)于y=x對(duì)稱時(shí),L1與L2的夾角為( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【答案】分析:根據(jù)題意畫出圖形,由過直線y=x上點(diǎn)A作圓B的兩條切線關(guān)于y=x對(duì)稱,得到BA與y=x垂直,且∠BAD=∠BAC,根據(jù)切線性質(zhì)得到∠BCA為直角,然后利用點(diǎn)直線的距離公式求出圓心B到直線y=x的距離即為|AB|,而|BC|為圓的半徑長(zhǎng),根據(jù)一直角邊等于斜邊的一半,這條直角邊所對(duì)的角為30°,得到∠BAD=∠BAC=30°,進(jìn)而求出∠CAD的度數(shù),進(jìn)而兩切線的夾角.
解答:解:根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示:
由圓的方程得到圓心B(0,4),圓的半徑r=|BC|=|BD|=
根據(jù)兩條切線關(guān)于y=x對(duì)稱,得到BA⊥直線y=x,
所以|BA|==2,
又直線AC和直線AD都為圓B的切線,切點(diǎn)分別為C和D,
所以BC⊥AC,BD⊥AD,即∠BCA=∠BDA=90°,
在Rt△ABC和Rt△ADB中,BC=BD=,AB=2,
所以∠BAD=∠BAC=30°,
則∠CAD=60°,即兩切線的夾角為60°.
故選C
點(diǎn)評(píng):此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,直角三角形的性質(zhì),切線的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離公式.要求學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想,借助圖形,充分利用對(duì)稱性質(zhì)來(lái)解決問題.
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A、30°B、45°C、60°D、90°

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60°
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