Question

設S_n是正項數(shù)列{a_n}的前n項和，4Sn=

a

2 n

+2an-3．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）已知bn=2n，求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

Answer 1

分析：（I）當n≥2時，利用遞推公式4a_n=4（S_n-S_n-1）=(an2+2an-3)-(an-12+2an-1-3)可得a_n-a_n-1=2，結合等差數(shù)列的通項可求
（II）由題意可得，anbn=(2n+1)•2n，則Tn=3×2+5×22+…+(2n+1)•2n，利用錯位相減可求和

解答：解：（I）當n=1時，a1=S1=

1

4

a12+

1

2

a1-

3

4

又a_n＞0解得a₁=3．
當n≥2時，4a_n=4（S_n-S_n-1）=(an2+2an-3)-(an-12+2an-1-3)．
∴4a_n=an2-an-12+2an-2an-1，…（3分）
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0．
∵a_n+a_n-1＞0
∴a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．       …（6分）
（II）∵bn=2n，a_n=2n+1
∴anbn=(2n+1)•2n
∴Tn=3×2+5×22+…+(2n+1)•2n．①
又因為2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ+（2n+1）×2ⁿ⁺¹②…（8分）
②-①可得，Tn=-3×2-2(22+23+…+2n)+（2n+1）×2ⁿ⁺¹     …（10分）
=-6+8-2×2ⁿ⁺¹+（2n+1）•2ⁿ⁺¹…（11分）
=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
所以　Tn=(2n-1)•2n+1+2．  …（13分）

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求解數(shù)列的通項公式，此類問題一般需要對n=1進行檢驗；而數(shù)列{a_nb_n}中，a_n，b_n分別為等差數(shù)列、等比數(shù)列，對其求和時利用錯位相減