Question

如圖，為了計(jì)算鄭東新區(qū)龍湖岸邊兩景點(diǎn)B與C的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取A和D兩個(gè)測量點(diǎn)，現(xiàn)測得AD⊥CD，AD=5km，AB=7km，∠BDA=60°，∠BCD=135°，求兩景點(diǎn)B與C的距離．（假設(shè)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）

Answer 1

分析：在△ABD中根據(jù)余弦定理，建立關(guān)于BD的方程解出BD=8km．然后在△BDC中，根據(jù)題中數(shù)據(jù)利用正弦定理列式，可得BC=

BDsin∠CDB

sin∠BCD

=4

2

（km），即得B與C之間的距離．

解答：解：在△ABD中，設(shè)BD=x，
根據(jù)余弦定理，可得AB²=BD²+AD²-2BD•AD•cos∠BDA，
∵AD=5km，AB=7km，∠BDA=60°，
∴7²=x²+5²-10xcos60°，
整理得x²-5x-24=0，
解得x₁=8，x₂=-3（舍去），
∵AD⊥CD，∠BDA=60°，
∴∠CDB=30°，
在△BDC中，根據(jù)正弦定理

BC

sin∠CDB

=

BD

sin∠BCD

，
可得BC=

BDsin∠CDB

sin∠BCD

=

8sin30°

sin135°

=4

2

（km）．
答：兩景點(diǎn)B與C的距離約為4

2

km．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求兩個(gè)景點(diǎn)之間的距離．著重考查了一元二次方程的解法、正余弦定理及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．