Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是側(cè)面AA₁B₁B對(duì)角線的交點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面AA₁C₁C對(duì)角線的交點(diǎn)，D是棱BC的中點(diǎn)．求證：
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面AEF⊥平面A₁AD．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接A₁B和A₁C，易證EF∥BC，利用線面平行的判斷定理即可證得EF∥平面ABC；
（2）依題意，可證EF⊥AA₁，EF⊥AD，而AA₁∩AD=A，從而可證得EF⊥平面A₁AD，利用面面垂直的判定定理即可證得平面AEF⊥平面A₁AD．
解答：解：（1）連接A₁B和A₁C，因?yàn)镋、F分別是側(cè)面AA₁B₁B和側(cè)面AA₁C₁C對(duì)角線的交點(diǎn)，
所以E、F分別是A₁B₁B和A₁C的中點(diǎn)．
所以EF∥BC…3分
又BC?平面ABC，EF?平面ABC，
故EF∥平面ABC；…6分
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，
∴AA₁⊥平面ABC，
∴BC⊥AA₁，又EF∥BC，
∴EF⊥AA₁…8分
又D是棱BC的中點(diǎn)，且△ABC為正三角形，所以BC⊥AD．
由EF∥BC得EF⊥AD…10分
而AA₁∩AD=A，AA₁，AD?平面A₁AD，所以EF⊥平面A₁AD，…12分
又EF?平面AEF，故平面AEF⊥平面A₁AD…14分
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定及直線與平面平行的判定，掌握直線與平面平行的判定定理與平面與平面垂直的判定定理是關(guān)鍵，考查分析與推理證明的能力，屬于中檔題．