Question

已知{a_n}是遞增的等差數(shù)列，滿足a₂•a₄=3，a₁+a₅=4．
（1） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；
（2） 設(shè)數(shù)列{b_n}對n∈N^*均有

b1

3

+

b2

32

+…+

bn

3n

=an+1成立，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）先由a₂•a₄=3，a₁+a₅=4．求出a₂和a₄進(jìn)而求得公差以及其通項(xiàng)公式，再代入等差數(shù)列的求和公式即可求前n項(xiàng)和公式；
（2）先由

b1

3

+

b2

32

++

bn

3n

=an+1，得n≥2時(shí)

b1

3

+

b2

32

++

bn-1

3n-1

=an，作差可得b_n的通項(xiàng)（n≥2），再檢驗(yàn)b₁即可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）∵a₁+a₅=a₂+a₄=4，再由a₂•a₄=3，
可解得a₂=1，a₄=3或a₂=3，a₄=1（舍去）
∵d=

a4-a2

4-2

=1，
∴a_n=1+1•（n-2）=n-1，
Sn=

n

2

(a2+an-1)=

n(n-1)

2

（2）由

b1

3

+

b2

32

++

bn

3n

=an+1，
當(dāng)n≥2時(shí)

b1

3

+

b2

32

++

bn-1

3n-1

=an，
兩式相減得

bn

3n

=an+1-an=1，(n≥2)
∴b_n=3ⁿ（n≥2）①
當(dāng)n=1時(shí)，

b1

3

=a2，
∵a₂=1，∴b₁=3，適合①
∴b_n=3ⁿ．

點(diǎn)評：本題的第二問主要考查了已知前n項(xiàng)和為S_n求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．根據(jù)a_n和S_n的關(guān)系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗(yàn)證n=1時(shí)通項(xiàng)是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，則通項(xiàng)公式為分段函數(shù)．