已知函數(shù)f（x）=ln（ex+k）（k為常數(shù)）是實數(shù)集R上的奇函數(shù)
（1）求k的值
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+sinx是區(qū)間[﹣1，1]上的減函數(shù)，且在x[﹣1，1]上恒成立，求t的取值范圍
（3）討論關(guān)于x的方程的根的個數(shù)．

解：（1）因為函數(shù)f（x）=ln（ex+k）（k為常數(shù)）是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，
所以f（﹣0）=﹣f（0）
即f（0）=0，
則ln（e0+k）=0解得k=0，
顯然k=0時，f（x）=x是實數(shù)集R上的奇函數(shù)；
（2）由（1）得f（x）=x所以
因為g（x） 在[﹣1，1]上單調(diào)遞減，
在[﹣1，1]上恒成立，
max=g（﹣1）=﹣1﹣sin1，
只需，
恒成立，
令
則解得t﹣1
（3）由（1）得f（x）=x
方程轉(zhuǎn)化為=x2﹣2ex+m，
令F（x）=（x＞0），G（x）=x2﹣2ex+m  （x＞0），
F'（x）=，
令F'（x）=0，
即=0，得x=e
當(dāng)x（0，e）時，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，e）上為增函數(shù)；
當(dāng)x（e，+）時，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）在（e，+）上為減函數(shù)；
當(dāng)x=e時，F(xiàn)（x）max=F（e）=
而G（x）=（x﹣e）2+m﹣e2   （x＞0）
G（x）在（0，e）上為減函數(shù)，在（e，+）上為增函數(shù)；
當(dāng)x=e時，G（x）min=m﹣e2
當(dāng)m﹣，即m＞時，方程無解；
當(dāng)m﹣，即m=時，方程有一個根；
當(dāng)m﹣，即m＜時，方程有兩個根；

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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