Question

已知橢圓9x²＋2y²＝18上任意一點(diǎn)P，由P向x軸作垂線(xiàn)段PQ，垂足為Q，點(diǎn)M在線(xiàn)段PQ上，且，點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)E．

(Ⅰ)求曲線(xiàn)E的方程；

(Ⅱ)若過(guò)定點(diǎn)F(0，2)的直線(xiàn)l交曲線(xiàn)E于不同的兩點(diǎn)G，H(點(diǎn)G在點(diǎn)F，H之間)，且滿(mǎn)足，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

(文)解：(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，是橢圓上一點(diǎn)，則Q(x0，0)，M(x，y) 　　由已知得：x0＝x，y0＝3y代入橢圓方程得 　　9x2＋18y2＝18即x2＋2y2＝2為曲線(xiàn)E的方程．　4分 　　(Ⅱ)設(shè)G(x1，y1)，H(x2，y2) 　　當(dāng)直線(xiàn)GH斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)GH的斜率為k 　　則直線(xiàn)GH的方程為：y＝kx＋2，　5分 　　代入x2＋2y2＝2，得：(＋k2)x2＋4kx＋3＝0 　　由△＞0，解得：k2＞　6分 　　 　　　　(2) 　　∴將(1)代入(2)整理得：　9分 　　解得：　11分 　　∴直線(xiàn)l的方程為：y＝x＋2　12分 　　當(dāng)直線(xiàn)GH斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的l方程為x＝0，此時(shí) 　　矛盾不合題意． 　　∴所求直線(xiàn)l的方程為：y＝x＋2　14分 　　(理)解：(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，是橢圓上一點(diǎn)，則Q(x0，0)，M(x，y) 　　由已知得：x0＝x，y0＝3y代入橢圓方程得 　　9x2＋18y2＝18即x2＋2y2＝2為曲線(xiàn)E的方程．　4分 　　(Ⅱ)設(shè)G(x1，y1)，H(x2，y2) 　　當(dāng)直線(xiàn)GH斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)GH的斜率為k 　　則直線(xiàn)GH的方程為：y＝kx＋2，　5分 　　代入x2＋2y2＝2，得：(＋k2)x2＋4kx＋3＝0 　　由△＞0，解得：k2＞　6分 　　 　　 　　　　(2) 　　∴將(1)代入(2)整理得：　9分 　　 　　又∵0＜λ＜1，∴＜λ＜1　13分 　　當(dāng)直線(xiàn)GH斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)GH的方程為 　　∴λ＝ 　　∴所求λ的范圍為≤λ＜1　14分