Question

已知函數(shù)f(x)=lg[ax-(

1

2

)x]，（ a＞0，a≠1，a為常數(shù)）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的定義域；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，判斷函數(shù)g(x)=ax-(

1

2

)x在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，若f（x）在[1，+∞）上恒取正值，求a應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，真數(shù)恒大于零，建立不等關(guān)系，解之即可；
（2）在定義域（0，+∞）內(nèi)任取兩個(gè)值x₁，x₂，并規(guī)定大小，然后將它們的函數(shù)值進(jìn)行作差比較，確定符號(hào)，根據(jù)單調(diào)性的定義可知該函數(shù)的單調(diào)性；
（3）根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化成lg[ax-(

1

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)x]＞0=lg1，即ax-(

1

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)x＞1對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，只需研究y=ax-(

1

2

)x在[1，+∞）上的最小值恒大于1即可．

解答：解：(1).2x＞(

1

2

)x，即2x＞2-x?x＞-x，
∴x＞0．f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．任取0＜x₁＜x₂，
則g（x₁）-g（x₂）=ax1-(

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2

)x1-ax2+(

1

2

)x2=(ax1-ax2)+(

1

2

)x2-(

1

2

)x1，
由于a＞1，有ax1＜ax2，(

1

2

)x2＜(

1

2

)x1，
∴y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂
∴g(x)=ax-(

1

2

)x在其定義域上是增函數(shù)．（也可：由a＞1，知a^x遞增，0.5^x遞減，-（0.5）^x也遞增，故g（x）遞增）
（3）依題意，lg[ax-(

1

2

)x]＞0=lg1，即ax-(

1

2

)x＞1對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
由于a＞1時(shí)，y=ax-(

1

2

)x在[1，+∞) 上遞增，
∴f(1)=lg(a-

1

2

)＞0，得a-

1

2

＞1，∴a＞

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．