Question

寫出下列函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間:

（1）y=3sin(2x-)；（2）y=2cos(2x+)；（3）y=log₂［sin(2x+)］.

Answer 1

思路分析:考查正、余弦函數(shù)的單調(diào)性.（1）設(shè)Z=2x-，則y=sinZ在［+2kπ, +2kπ］(k∈Z)上是增函數(shù)，即2x-∈［+2kπ, +2kπ］(k∈Z)由此可寫出x的范圍；（2）與（1）類似；（3）根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則進(jìn)行求解.

解：（1）設(shè)Z=2x-，則y=sinZ在［+2kπ, +2kπ］(k∈Z)上是增函數(shù)，

即2x-∈［+2kπ, +2kπ］(k∈Z).

由+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)，

得+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z)，

即+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).

所以，函數(shù)y=3sin(2x-)的單調(diào)增區(qū)間為［+kπ,+kπ］(k∈Z).

（2）由-π+2kπ≤2x+≤2kπ(k∈Z),得+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),

即+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).

所以，函數(shù)y=2cos(2x+)的單調(diào)增區(qū)間為［+kπ,+kπ］(k∈Z).

（3）設(shè)u=sin(2x+)，由y=log₂u是增函數(shù),可知y=log₂［sin(2x+)］的增區(qū)間就是u=sin(2x+)(u＞0)的增區(qū)間.

由y=sinx(y＞0)的圖象可知y=sinx(y＞0)的增區(qū)間為(2kπ,2kπ+］(k∈Z)，因此，對(duì)于u=sin(2x+)(u＞0),有

2kπ＜2x+≤2kπ+ (k∈Z)，即+2kπ≤2x≤2kπ+(k∈Z).

所以+kπ＜x≤kπ+ (k∈Z).

所以，函數(shù)y=log₂［sin(2x+)］的單調(diào)增區(qū)間為(+kπ,kπ+］(k∈Z).

方法歸納 本題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，使用了整體換元法.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，因此，要求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)首先求函數(shù)的定義域.此外，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)寫成區(qū)間的形式.

誤區(qū)警示 在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，一定要首先求出函數(shù)的定義域，然后在函數(shù)的定義域內(nèi)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這是一個(gè)常被忽略的問題.