Question

已知正實數(shù)x，y滿足等式[logy(1-

1

x

)+1]•[log(x+3)y]=1，
（1）試將y表示為x的函數(shù)y=f（x），并求出定義域和值域．
（2）是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)g（x）=mf（x）-

f(x)

+1有零點？若存在，求出m的取職范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式進行轉(zhuǎn)化去掉對數(shù)符號是解決本題的關(guān)鍵，進行同底化找x，y之間的關(guān)系，然后根據(jù)對數(shù)式有意義的條件列出關(guān)于自變量的不等式，求出該函數(shù)的定義域，結(jié)合函數(shù)解析式的特征，求出函數(shù)的值域；
（2）利用換元法將方程有解問題轉(zhuǎn)化為求某個函數(shù)的值域問題，注意分離變量思想的運用．

解答：解：（1）由等式的logyy(1-

1

x

)=logy(x+3)，則y(1-

1

x

)=x+3
即y=

x(x+3)

x-1

由題意知

x＞0 y＞0且y≠1 1- 1 x ＞0

，解得x＞1，∴f（x）=

x(x+3)

x-1

的定義域是（1，+∞）．
令x-1=t，則x=t+1，且t＞0，y=

(t+1)(t+4)

t

=t+

4

t

+5，根據(jù)基本不等式得出函數(shù)f（x）的值域是[9，+∞）．
（2）若存在滿足題意的實數(shù)m，則關(guān)于x的方程mf（x）-

f(x)

+1=0在區(qū)間（1，+∞）上有實解
令

f(x)

=u，則由（1）知u∈[3，+∞）
問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于u的方程mu²-u+1=0在區(qū)間[3，+∞）上有實解，
化為：m=-

1

u2

+

1

u

=-(

1

u

-

1

2

)2+

1

4

又

1

u

∈(0，

1

3

]，
所以m∈(0，

2

9

]，
即存在滿足題意的實數(shù)m，其取值范圍是(0，

2

9

]．

點評：本題屬于函數(shù)與方程的綜合問題，考查學(xué)生對數(shù)運算的能力、函數(shù)定義域的思想、值域的求法、方程有解問題的轉(zhuǎn)化方法和分離變量的思想，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力．