Question

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述總量所用的時(shí)間，開始講題時(shí)，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散．分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用f（x）表示學(xué)生掌握和接受概念的能力，x表示提出和講授概念的時(shí)間（單位：分），有以下的公式：
f（x）=

0.1x2+2.6x+43 ，(0＜x≤10) 59 ，(10＜x≤16) -3x+107 ，(16＜x≤30)

（1）開講后5分鐘與開講后20分鐘比較，學(xué)生的接受能力何時(shí)強(qiáng)呢？
（2）開講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多長(zhǎng)的時(shí)間？
（3）若講解這道數(shù)學(xué)題需要55的接受能力以及13分鐘的時(shí)間，老師能否及時(shí)在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講完這道題？

Answer 1

分析：（1）分別計(jì)算出f（5），f（20）再比較它們的大小f（5）、f（20）即可得出開講后5分鐘學(xué)生的接受能力比開講后20分鐘強(qiáng)．
（2）分兩類討論函數(shù)的最大值：①當(dāng)0＜x≤10時(shí)，②當(dāng)16＜x＜30時(shí)，從而得出開講后10鐘學(xué)生達(dá)到最強(qiáng)的接受能力，并維持6分鐘．
（3）分兩種情形討論：①當(dāng)0＜x＜10時(shí)，②當(dāng)16＜x＜30時(shí)，分別令f（x）＞55，求得相應(yīng)x的取值范圍，得出結(jié)論：學(xué)生達(dá)到或超過55的接受能力的時(shí)間11.3分鐘，小于13分鐘，故這位老師不能在學(xué)生所需狀態(tài)下講完這道題．

解答：解：（1）f（5）=53.5，f（20）=47?f（5）＞f（20）?．
開講后5分鐘學(xué)生的接受能力比開講后20分鐘強(qiáng)．
（2）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，f（x）=-0.1（x-13）²+59.9?f（x）是增函數(shù)?最大值是
f（10）=59；當(dāng)16＜x＜30時(shí)，f（x）是遞減的函數(shù)，
?f（x）＜f（16）=59，故開講后10鐘學(xué)生達(dá)到最強(qiáng)的接受能力，并維持6分鐘．
（3）當(dāng)0＜x＜10時(shí)，令f（x）＞55，則6＜x＜10；
當(dāng)16＜x＜30時(shí)，令f（x）＞55，則16＜x＜17.3
因此，學(xué)生達(dá)到或超過55的接受能力的時(shí)間11.3分鐘，
小于13分鐘，故這位老師不能在學(xué)生所需狀態(tài)下講完這道題．

點(diǎn)評(píng)：本題函數(shù)模型為分段函數(shù)，分段函數(shù)模型的構(gòu)造中，自變量取值的分界是關(guān)鍵點(diǎn)，只有合理的分類，正確的求解才能成功地解題．但分類時(shí)要做到不重不漏．正確求出函數(shù)解析式后，利用函數(shù)的常規(guī)方法求解相關(guān)問題．求分段函數(shù)的最值，應(yīng)先求出函數(shù)在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個(gè)函數(shù)的最大值，取各部分的最小者為整個(gè)函數(shù)的最小值．