Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，S_n+1=2S_n+n+1，n∈N．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若bn=

n

an+1-an

，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，n∈N^*，試判斷T_n與2的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=1，S_n+1=2S_n+n+1，知S_n+1+（n+1）+2=2（S_n+n+2），所以S_n=2ⁿ⁺¹-n-2．由此能求出a_n．
（Ⅱ）由a_n=2ⁿ-1，知bn =

n

an+1-an

=

n

2 n+1-2n

=

n

2n

，所以Tn=1×

1

2

+2×

1

2 2

+…+n×

1

2 n

，由錯(cuò)位相減法得到Tn=2-(2+n)(

1

2

)n，由此能夠證明T_n＜2．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，S_n+1=2S_n+n+1，
∴S_n+1+（n+1）+2=2（S_n+n+2），
并且S₁+1+2=1+1+2=4，數(shù)列{S_n+n+2}組成一個(gè)以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴S_n+n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
S_n=2ⁿ⁺¹-n-2．
∴a₁=S₁=2²-1-2=1，
a_n=S_n-S_n-1
=（2ⁿ⁺¹-n-2）-（2ⁿ-n-1）=2ⁿ-1，
當(dāng)n=1時(shí)，2ⁿ-1=1=a₁，
∴a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）∵a_n=2ⁿ-1，
∴bn =

n

an+1-an

=

n

2 n+1-2n

=

n

2n

，
∴Tn=1×

1

2

+2×

1

2 2

+…+n×

1

2 n

，①

1

2

Tn=1×

1

2 2

+2×

1

2  3

+…+n×

1

2 n+1

，②
①-②，得

1

2

Tn=

1

2

+ 

1

2 2

+

1

2 3

+…+

1

2 n

-n×

1

2 n+1

=

1 2 (1- 1 2 n )

1- 1 2

-n×

1

2 n+1

=1-

1

2 n

-

n

2 n+1

，
∴Tn=2-(2+n)(

1

2

)n
∴T_n＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的證明和數(shù)列前n項(xiàng)和的求法和不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和錯(cuò)位相減法的靈活運(yùn)用．本題計(jì)算繁瑣，容易出錯(cuò)．要注意培養(yǎng)計(jì)算能力．