Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax2-ax，g（x）=2x²+4x+c．
（1）試問函數(shù)f（x）能否在x=-1時取得極值？說明理由；
（2）若a=-1，當(dāng)x∈[-3，4]時，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用反證法：根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，假設(shè)x=-1時f（x）取得極值，則把x=-1代入導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)值為0得到a的值，把a(bǔ)的值代入導(dǎo)函數(shù)中得到導(dǎo)函數(shù)在R上為增函數(shù)，沒有極值與在x=-1時f（x）取得極值矛盾，所以得到f（x）在x=-1時無極值；
（2）把a(bǔ)=-1代入f（x）確定出f（x），然后令f（x）與g（x）相等，移項并合并得到c等于一個函數(shù)，設(shè)F（x）等于這個函數(shù)，G（x）等于c，求出F（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，利用x的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到F（x）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到F（x）的極大值和極小值，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點，則函數(shù)F（x）與G（x）有兩個公共點，根據(jù)F（x）的極大值和極小值寫出c的取值范圍即可．

解答：解：（1）由題意f′（x）=x²-2ax-a，
假設(shè)在x=-1時f（x）取得極值，則有f′（-1）=1+2a-a=0，∴a=-1，
而此時，f′（x）=x²+2x+1=（x+1）²≥0，函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，無極值．
這與f（x）在x=-1有極值矛盾，所以f（x）在x=-1處無極值；
（2）令f（x）=g（x），則有

1

3

x³-x²-3x-c=0，∴c=

1

3

x³-x²-3x，
設(shè)F（x）=

1

3

x³-x²-3x，G（x）=c，令F′（x）=x²-2x-3=0，解得x₁=-1或x=3．
列表如下：

由此可知：F（x）在（-3，-1）、（3，4）上是增函數(shù)，在（-1，3）上是減函數(shù)．
當(dāng)x=-1時，F(xiàn)（x）取得極大值F(-1)=

5

3

；當(dāng)x=3時，F(xiàn)（x）取得極小值
F（-3）=F（3）=-9，而F(4)=-

20

3

．
如果函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點，則函數(shù)F（x）與G（x）有兩個公共點，
所以-

20

3

＜c＜

5

3

或c=-9．

點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，掌握函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，是一道中檔題．