Question

如圖，在棱長(zhǎng)都等于1的三棱錐A-BCD中，F(xiàn)是AC上的一點(diǎn)，過(guò)F作平行于棱AB和棱CD的截面，分別交BC，AD，BD于E，G，H．
（1）證明截面EFGH是矩形；
（2）F在AC的什么位置時(shí)，截面面積最大，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可得AB∥EF，AB∥GH，進(jìn)而EF∥GH，同理EH∥CD∥FG，則可得四邊形EFGH是平行四邊形，結(jié)合四棱錐的幾何特征，證得EF⊥CD后，可得截面EFGH是矩形；
（2）設(shè)FG=x，x∈（0，1），可得四邊形面積的解析式：S_EFGH=EF•FG=x（1-x），進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答：證明：（1）∵AB∥平面EFGH，
平面ABC∩平面EFGH=EF
∴AB∥EF
同理AB∥GH
∴EF∥GH
同理EH∥CD∥FG
∴四邊形EFGH是平行四邊形
取CD中點(diǎn)S，連接AS，BS
∵AC=AD，S是CD中點(diǎn)
∴AS⊥CD
同理 BS⊥CD
又∵AS∩BS=S
∴CD⊥平面ABS
∴CD⊥AB
又∵AB∥EF，F(xiàn)G∥CD
∴EF⊥CD
即 四邊形EFGH是矩形
解：（2）設(shè)FG=x，x∈（0，1）
由（1）知

FG

CD

=

AF

AC

=

AB-EF

AB

，
又CD=AB=1
∴EF=1-x
則S_EFGH=EF•FG=x（1-x）
=-（x-

1

2

）²+

1

4

∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，S_EFGH最大
即F是AC的中點(diǎn)時(shí)，截面面積最大

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的結(jié)構(gòu)特征，特殊四邊形的判定，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握棱錐的結(jié)構(gòu)特征是解答的關(guān)鍵．