若函數(shù)f（x）在定義域D內(nèi)某區(qū)間I上是增函數(shù)，而y=
f(x)
x
在I上是減函數(shù)，則稱y=f（x）在I上是“弱增函數(shù)”．已知f（x）=x2+（cotθ-1）x+b（θ、b是常數(shù)，b＞0）．
（1）若f（x）是偶函數(shù)，求θ、b應(yīng)滿足的條件；
（2）當(dāng)cotθ≥1時(shí)，f（x）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)b的范圍．
（3）當(dāng)cotθ≥1時(shí)，f（x）在（0，1]上不是“弱增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)b的范圍．
（1）若f（x）是偶函數(shù)，則f（x）=f（-x），
即x2+（cotθ-1）x+b=x2-（cotθ-1）x+b對任意x∈R恒成立，
∴cotθ=1，b＞0，∴若f（x）是偶函數(shù)，則θ=kπ+
π
4
(k∈Z)，b＞0，
（2）當(dāng)cotθ≥1時(shí)，f（x）=x2+（cotθ-1）x+b的對稱軸是x=-
cotθ-1
2
≤0
∴f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，
考察函數(shù)g(x)=
f(x)
x
=x+
b
x
+(cotθ-1)，
當(dāng)
b
≥1，即b≥1時(shí)，設(shè)0＜x1＜x2≤1，則g(x1)-g(x2)=[x1+
b
x1
+(cotθ-1)]-[x2+
b
x2
+(cotθ-1)]=
(x1-x2)(x1x2-b)
x1x2

∵0＜x1＜x2≤1，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1≤b，
∴g(x1)-g(x2)=
(x1-x2)(x1x2-b)
x1x2
＞0
即g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，f（x）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”；
綜上所述，b≥1時(shí)，f（x）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”；
（3）當(dāng)0＜
b
＜1，即0＜b＜1時(shí)，g（b）=g（1）=1+b+（cotθ-1），
即g（x）在（0，1]上不是單調(diào)函數(shù)，
∴f（x）在（0，1]上不是“弱增函數(shù)”．
綜上所述0＜b＜1時(shí)，f（x）在（0，1]上不是“弱增函數(shù)”
練習(xí)冊系列答案
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①f（x）=sinx+cosx，②f（x）=lnx-2x，③f（x）=-x4+x3-x2+1，④f（x）=-xe-x
以上四個(gè)函數(shù)在(0，
π2
)上是凸函數(shù)的是
①②③
①②③
（請把所有正確的序號均填上）

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（2012•湖北模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）2+blnx．
（1）若f（x）在x=2時(shí)取得極小值，求b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在定義城上是單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍．

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設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）2+blnx．
（1）若f（x）在x=2時(shí)取得極小值，求b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在定義城上是單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍．

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設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）2+blnx．
（1）若f（x）在x=2時(shí)取得極小值，求b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在定義城上是單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍．

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