Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{-x}+a，x≤0}\\{（x-1）^{3}+1，x＞0}\end{array}$，且?x₀∈[2，+∞）使得f（-x₀）=f（x₀），若對任意的x∈R，f（x）＞b恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，0]
• C． （-∞，a）
• D． （-∞，a]

Answer 1

分析 分別求出x≤0時(shí)，x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的值域，再由?x₀∈[2，+∞）使得f（-x₀）=f（x₀），即為$\sqrt{{x}_{0}}$+a=（x₀-1）³+1有解，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，判斷符號，可得單調(diào)性，即可得到f（x）的值域，再由不等式恒成立思想，可得b的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{-x}+a，x≤0}\\{（x-1）^{3}+1，x＞0}\end{array}$，
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=$\sqrt{-x}$+a≥a；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（x-1）³+1遞增，可得f（x）＞0．
由?x₀∈[2，+∞）使得f（-x₀）=f（x₀），
即為$\sqrt{{x}_{0}}$+a=（x₀-1）³+1有解，
即為a=（x₀-1）³+1-$\sqrt{{x}_{0}}$，
由y=（x₀-1）³+1-$\sqrt{{x}_{0}}$，x₀∈[2，+∞），
導(dǎo)數(shù)為3（x₀-1）²-$\frac{1}{2\sqrt{{x}_{0}}}$＞0在x₀∈[2，+∞）恒成立，
即為函數(shù)y在x₀∈[2，+∞）遞增，
即有a≥2-$\sqrt{2}$＞0，
則函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，+∞）．
由任意的x∈R，f（x）＞b恒成立，
可得b≤0．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查分段函數(shù)的值域，注意運(yùn)用單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的解法，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．