Question

已知函數(shù)(為實(shí)數(shù))有極值，且在處的切線與直線平行．
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的極小值為，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè),的導(dǎo)數(shù)為,令
求證：

Answer 1

(1)  (2)存在.  (3)略

（1）根據(jù)極值的信息，則選用導(dǎo)數(shù)法，先求f'（x），再由f（x）有極值，可有=a2-4b＞0，又由在x=-1處的切線與直線x-y+1=0平行，可得f'（-1）=1-a+b=1從而求解
（2）先假存在，則根據(jù)條件，則有關(guān)于a的不等式，進(jìn)而得到范圍。
（3）構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的思想求解函數(shù)的最值得到證明
(1)∵,∴，
由題意∴，     ①      ……2分
∵有極值，∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根．
∴、   ∴．    ②
由①、②可得，．  ∴或．
故實(shí)數(shù)的取值范圍是  …2分
(2)存在.……………1分   
由(1)令，


∴時(shí)，取極小值，則=,
∴……………………………………………………2分
若，即則 (舍)．……………………1分
若

∴存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)的極小值為1  ………1分
(3)∵,
  ……．l分




∴其中等號成立的條件為………………3分