Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=2，∠ABC=．
（1）證明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中AB=2，AC=AA₁=2，∠ABC=，解三角形可得AB⊥AC，故可以以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AA₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出AB與A₁C的方向向量，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為0，即可得到AB⊥A₁C；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，分別求出平面AA₁C與平面A₁CB的法向量，代入向量夾角公式，即可出二面角A-A₁C-B的正弦值．
解答：解：（1）證明：在△ABC中，由正弦定理可求得
∴AB⊥AC
以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AA₁為
x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖
則A（0，0，0）B（2，0，0）
即AB⊥A₁C．
（2）由（1）知
設(shè)二面角A-A₁C-B的平面角為α，=
∴
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，用向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系，其中向量法是解答和證明立體幾何平行、垂直關(guān)系及夾角常用的方法，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出相應(yīng)直線的方向向量及平面的法向量是解答的關(guān)鍵．