Question

設(shè)f（x）=|x|x+bx+c，給出下列命題中，所有正確的命題序號(hào)是 ________．
①b=0，c＞0時(shí)，f（x）=0僅有一個(gè)根；
②c=0時(shí)，y=f（x）為奇函數(shù)；
③y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱；
④f（x）=0至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

Answer 1

①②
分析：①由b=0，c＞0，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（x）=|x|x+c=0，易知只有一負(fù)根；
②由c=0，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（x）=|x|x+bx，再由f（-x）=-（|x|x+bx）=-f（x），得到函數(shù)是奇函數(shù)；
③當(dāng)c=1時(shí)，函數(shù)為f（x）=|x|x+bx+1，其圖象是由f（x）=|x|x+bx的圖象向上平移一個(gè)單位得到的，所以y=f（x）的圖象才關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，c為其他值時(shí)，不關(guān)于（0，1）對(duì)稱．
④當(dāng)x＞0時(shí)，若f（x）=0無根時(shí)，由當(dāng)x＜0時(shí)開口向下，圖象向下無限延展，f（x）與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)．
解答：①b=0，c＞0時(shí)，f（x）=|x|x+c=0只有一負(fù)根，正確；
②c=0時(shí)，f（x）=|x|x+bx，而f（-x）=-（|x|x+bx）=-f（x），是奇函數(shù)；正確
③當(dāng)c=1時(shí)，y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，所以不正確
④當(dāng)x＞0時(shí)，△=b²-4c＜0f（x）=0無根，則在x＜0時(shí)f（x）=0只有一根．所以不正確
故答案為：①②
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象變換，這里考查的是絕對(duì)值變換，還考查了對(duì)稱性，奇偶性，相應(yīng)方程根的問題．