Question

橢圓中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，右焦點(diǎn)F（c，0）（c＞0），它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a（a＞c＞0），直線l：與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程和離心率；
（Ⅱ）若，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）設(shè) （λ＞1），過(guò)點(diǎn)P且平行于直線l的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）首先由條件|OF|=2|FA|列式，求出橢圓的離心率，然后結(jié)合短軸長(zhǎng)2b=及a²=b²+c²可求a²，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)A的直線方程，設(shè)出直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后求出P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，由，得到P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的關(guān)系后，把前面得到的和與積的表達(dá)式代入即可求出直線的斜率，則直線方程可求；
（Ⅲ）由向量的坐標(biāo)表示寫(xiě)出，，再由 （λ＞1）及P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)都適合橢圓方程列式找出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)與λ的關(guān)系，最后把要證的等式的兩邊的坐標(biāo)都用λ和縱坐標(biāo)表示即可得證．
解答：解：如圖，
（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為．
由|OF|=2|FA|，得c=2（），整理得：3c²=2a²，∴e=．
聯(lián)立，解得：a²=6，b²=2．
∴橢圓的方程為，離心率．
（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率顯然存在，設(shè)其斜率為k（k≠0），且A（3，0）．
則直線l的方程為y=k（x-3），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立，得：（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0．
由△=（-18k²）²-4（1+3k²）（27k²-6）=12（2-3k²）＞0，得：．
，．
由，得x₁x₂+y₁y₂=0．
即x₁x₂+（kx₁-3k）（kx₂-3k）=
==0．
化簡(jiǎn)得：，∴k=，滿(mǎn)足．
（Ⅲ），，
由已知得方程組，解得：．
∵F（2，0），M（x₁，-y₁）．
故=（λ（x₂-3）+1，-y₁）
==．
而．
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是，常常采用設(shè)而不求的方法，即設(shè)出直線與圓錐曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)，解答時(shí)不求坐標(biāo)，而是運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系求出兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，然后結(jié)合已知條件整體代入求解問(wèn)題，此題還應(yīng)注意的是要保證直線和橢圓交點(diǎn)的存在性，此題是難題．