如圖，兩個邊長為1的正方形ABCD與ABEF相交于AB，∠EBC=90°，M，N分別是BD，AE上的點(diǎn)，且AN=DM．
（1）求證：MN∥平面EBC；
（2）求MN長度的最小值．

【答案】分析：（1）首先分別以BA，BC，BE為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后確定點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，進(jìn)而確定的坐標(biāo)，再找到平面EBC的一個法向量，并確定它的坐標(biāo)，最后計算為0即可．
（2）由的坐標(biāo)表示出其長度，再利用配方法即可求出它的最小值．
解答：（1）證明：依題意可分別以BA，BC，BE為x軸，y軸，z軸建立；
如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)檎叫蜛BCD與ABEF的邊長為1，且AN=DM，
所以設(shè)BM=x，則NE=x，NA=-x，且x，
所以M（x，x，0），N（x，0，1-x），
所以=（0，-x，1-x），
因?yàn)槠矫鍱BC的一個法向量為=（1，0，0）
所以=0，即，
又MN?平面EBC，所以MN∥平面EBC．
（2）解：由（1）=（0，-x，1-x），得
||==，
又x∈[0，]，所以當(dāng)x=時，||min=．
即MN長度的最小值為．
點(diǎn)評：本題主要考查向量法解決立體幾何問題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)一個幾何體的三視圖如右圖所示．已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個長為
3
，寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形．
（Ⅰ）求該幾何體的體積V；
（Ⅱ）求該幾何體的表面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，兩個邊長為1的正方形ABCD與ABEF相交于AB，∠EBC=90°，M，N分別是BD，AE上的點(diǎn)，且AN=DM．
（1）求證：MN∥平面EBC；
（2）求MN長度的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某同學(xué)為研究函數(shù)f(x)=
1+x2
+
1+(1-x)2
(0≤x≤1)0＜x＜1）的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點(diǎn)P是邊BC上的一個動點(diǎn)，設(shè)CP=x，則AP+PF=f（x）．請你參考這些信息，推知函數(shù)f（x）的值域是
[
2
+1，
5
]
[
2
+1，
5
]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)二模）某同學(xué)為研究函數(shù)f(x)=
1+x2
+
1+(1-x)2
(0≤x≤1)的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點(diǎn)P是邊BC上的一個動點(diǎn)，設(shè)CP=x，則AP+PF=f（x）．請你參考這些信息，推知函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸是
x=
1
2
x=
1
2
；函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)的個數(shù)是
2
2
．

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