Question

（09年雅禮中學月考文）（12分）

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱SD⊥底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點.

       (I)  求證：EF∥平面SAD;

   (II)  設SD=2CD=2，求二面角A－EF－D的大小.

Answer 1

解析：解一:(Ⅰ)作FG∥DC交SD于點G，則G為SD的中點．連結AG,

，  ???????? ?????????????????????（2分）

又，故,AEFG為平行四邊形．??????????????????（4分）

EF∥AG，又AGÌ面SAD,EFË面SAD.所以EF∥面SAD.?????????????（6分） 

(Ⅱ)不妨設DC=2,則SD=4,DG=2,DADG為等腰直角三角形．

取AG中點H，連結DH，則DH^AG.

又AB^平面SAD，所以AB^DH,而AB∩AG=A,所以DH^面AEF．???????（7分）

取EF中點M，連結MH，則HM^EF. ????????????????????????（8分）

連結DM，則DM^EF.故∠DMH為二面角A-EF-D的平面角, ????????????????（9分）

tan∠DMH===.?????????（11分）

所以二面角A-EF-D的大小為?????????????????????（12分）

解二：(Ⅰ)如圖，建立空間直角坐標系D-xyz．????????????????（1分）

設A(a,0,0),S(0,0,b),則(a,a,0),C(0,a,0),E(a,,0),F(0,,),=(-a,0,).

取SD的中點G(0,0,),則=(-a,0,). ?????????????????????（4分）

=,所以EF∥AG，又AGÌ面SAD,EFË面SAD.所以EF∥面SAD??????????（6分）

 (Ⅱ)不妨設A(1,0,0),則B(1,1,0),C0,1,0),S(0,0,2),E(1,,0),F(0,,1).

EF中點M(,,),???????????????????????（7分）

=(-,-,-)，=(-1,0,1),?=0,MD^EF???????（8分）

又=(0,-,0), ?=0,EA^EF所以向量和的夾角等于二面角A-EF-D的平面角??????????????（9分）

又cos<,>==.???????????????????????（11分）

所以二面角A-EF-D的大小為arccos．??????????????????????????（12分）