(2012•菏澤一模)已知直線l:y=x+
6
,圓O:x2+y2=5,橢圓E:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
3
3
.直線l截圓O所得的弦長與橢圓的短軸長相等.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線.若切線都存在斜率,求證這兩條切線互相垂直.
分析:(Ⅰ)先求直線l圓O截得的弦長,進而可得橢圓的短軸長,利用橢圓的離心率e=
3
3
,即可確定橢圓E的方程;
(Ⅱ)設過點P的橢圓的切線方程,代入橢圓方程,消去y可得一元二次方程,利用判別式為0得方程,利用韋達定理,及點P在圓O上,即可計算得兩條切線的斜率的積,從而可得結論.
解答:(Ⅰ)解:設橢圓的半焦距為c,圓心O到l的距離為d=
6
2
=
3

∴直線l圓O截得的弦長2
2

∵直線l圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等
b=
2

∵橢圓E:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
3
3

a2-2
a2
=
1
3

∴a2=3
∴橢圓E的方程為
y2
3
+
x2
2
=1;
(Ⅱ)證明:設P(x0,y0),過點P的橢圓的切線方程為y-y0=k(x-x0),即y=kx+y0-kx0,
代入橢圓方程,消去y可得:(3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(y0-kx02-6=0
∴△=[4k(y0-kx0)]2-4(3+2k2)[2(y0-kx02-6]=0
即(2-x02)k2+2kx0y0-(y02-3)=0
∴兩條切線的斜率的積為-
y02-3
2-x02

∵點P在圓O上,∴x02+y02=5,∴-
y02-3
2-x02
=-
5-x02-3
2-x02
=-1
∴兩條切線的斜率的積為-1
∴兩條切線互相垂直.
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查韋達定理的運用,聯(lián)立方程,計算斜率是關鍵.
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