Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積為T_n，且T_n=2-2a_n（n∈N^*），則a₂₀₁₆=$\frac{2017}{2018}$．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積為T_n，且T_n=2-2a_n，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2-2a₁，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，T_n-1=2-2a_n-1，可得a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{2-2{a}_{n}}{2-2{a}_{n-1}}$，取n=2，3，可得a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{4}{5}$，驗(yàn)證成立，a₂₀₁₆=$\frac{2017}{2018}$．

解答 解：：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積為T_n，且T_n=2-2a_n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2-2a₁，解得a₁=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n-1=2-2a_n-1，
∴a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{2-2{a}_{n}}{2-2{a}_{n-1}}$，
化為a_n=$\frac{1}{2-{a}_{n-1}}$，
取n=2，3，可得a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{4}{5}$，
…，
猜想a_n=$\frac{n+1}{n+2}$．
經(jīng)過(guò)驗(yàn)證成立．
∴a_n=$\frac{n+1}{n+2}$，
∴a₂₀₁₆=$\frac{2017}{2018}$，
故答案為：$\frac{2017}{2018}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．