已知：任意四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，?求證：
EF
=
1
2
(
AB
+
DC
)．
分析：證法一：由E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，我們根據(jù)相反向量的定義，易得
EA
+
ED
=
0
，
FB
+
FC
=
0
，利用平面向量加法的三角形法則，我們易將向量
EF
分別表示為
AB
+
BF
+
EA
和
ED
+
DC
+
CF
的形式，兩式相加后，易得到結(jié)論．
證法二：連接
EB
，
EC
，由向量加法的平行四邊形法則，我們易將向量
EF
表示為
1
2
(
EC
+
EB
)，然后再利用向量加法的三角形法則，即可得到結(jié)論．
解答：精英家教網(wǎng)證法一：如圖，
∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，
∴
EA
+
ED
=
0
，
FB
+
FC
=
0
，
又∵
AB
+
BF
+
FE
+
EA
=
0
，
∴
EF
=
AB
+
BF
+
EA
①
同理
EF
=
ED
+
DC
+
CF
②
由①+②得，
2
EF
=
AB
+
DC
+
EA
+
ED
+
BF
+
CF
=
AB
+
DC
．
∴
EF
=
1
2
(
AB
+
DC
)．
方法二：連接
EB
，
EC
，
則
EC
=
ED
+
DC
，精英家教網(wǎng)
∴
EF
=
1
2
(
EC
+
EB
)
=
1
2
(
ED
+
DC
+
EA
+
AB
)
=
1
2
(
AB
+
DC
)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義，向量的三角形法則，其中根據(jù)向量加法的三角形法則對(duì)待證結(jié)論中的向量進(jìn)行分解是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，連接OM并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)C．直線AB與直線OM的斜率分別為k、m，且km=-
1
a2
．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若直線AB經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F，問(wèn)：對(duì)于任意給定的不等于零的實(shí)數(shù)k，是否存在a∈[2，+∞），使得四邊形OACB是平行四邊形，請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

有下列幾個(gè)命題：①若
a
與
b
-
c
都是非零向量，則“
a
•
b
=
a
•
c
”是“
a
⊥(
b
-
c
)”的充要條件；②已知等腰△ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是
15
7
；③在平面直角坐標(biāo)系xoy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC，已知點(diǎn)A（-2，0），B（6，8），C（8，6），則D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-1）；④設(shè)
a
，
b
，
c
為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且滿足
a
與
b
不共線，
a
⊥
c
，|
a
|=|
c
|，則|
b
•
c
|的值一定等于以
a
，
b
為鄰邊的平行四邊形的面積．其中正確命題的序號(hào)是
 
．（寫(xiě)出全部正確結(jié)論的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列命題錯(cuò)誤的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013-2014學(xué)年安徽省合肥市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

有下列命題：

①已知是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，則平面內(nèi)任一向量都可表示為，其中；

②對(duì)任意平面四邊形ABCD，點(diǎn)E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，則；

③直線的一個(gè)方向向量為；

④已知與夾角為，且·＝，則｜－｜的最小值為；

⑤是（·）·＝·（·）的充分條件；

其中正確的是 （寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．

 

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