Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

+

1

2

．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）△ABC是銳角三角形，角A、B、C的對邊分別是a、b、c滿足（2a-c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用輔助角公式對函數(shù)化簡可得f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)+1，由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

 (k∈Z)可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）由（2a-c）cosB=bcosC及正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，結(jié)合sin（B+C）=sinA≠0可求cosB，進(jìn)而可求B，由A+C=π-B=

2

3

π及A，C為銳角可求A的 范圍，而f(2A)=sin(A+

π

6

)+1，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：（1）由f(x)=

3

2

sin

x

2

+

1

2

(1+cos

x

2

)+

1

2

=sin(

x

2

+

π

6

)+1…（2分）
由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

 (k∈Z)
得4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

 (k∈Z)，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

](k∈Z)．…（6分）
（2）由（2a-c）cosB=bcosC及正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
∴2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）…（8分）
又∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA≠0
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

，…（10分）A+C=π-B=

2

3

π，又∵A，C為銳角，∴

π

6

＜A＜

π

2

…（12分）
而f(2A)=sin(A+

π

6

)+1，∴

π

3

＜A+

π

6

＜

2π

3

，即

3

2

＜sin(A+

π

6

)≤1．
∴f(2A)∈(

3

2

+1，2]故f（2A）的取值范圍是(

3

2

+1，2]．       …（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)的化簡，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，A＞0）的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)值域的求解，三角形的正弦定理的應(yīng)用，屬于知識的綜合應(yīng)用．