Question

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ),(-π＜φ＜0),y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x=.

(Ⅰ)求φ；(Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)的單增區(qū)間；

(Ⅲ)證明直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=f(x)的圖像不相切.

Answer 1

分析：由對(duì)稱軸是x=，可知2×+φ使f(x)取最值，即+φ=kπ+.(k∈Z)，從而可求φ；由sinx的單增區(qū)間可求f(x)=sin(2x+φ)的單增區(qū)間.由|f′(x)|=|2cos(2x+φ)|≤2，直線5x-2y+c=0的斜率為＞2說(shuō)明直線和f(x)的圖象不能相切.

解：(Ⅰ)解法1：因?yàn)閤=是函數(shù)y=f(x)的圖像的對(duì)稱軸，

    所以sin(2·+φ)=±1,

    則有+φ=kπ+,k∈Z.

    因?yàn)?π＜φ＜0,

   所以φ=-.

解法2：函數(shù)y=sin 2x圖像的對(duì)稱軸為

x=+,k∈Z.

y=sin(2x+φ)的圖像由y=sin 2x的圖像向左平移得到，所以有+-=  k∈Z.

∵-π＜φ＜0,

∴φ=-π.

解法3：因?yàn)閤=是函數(shù)y=f(x)的圖像的對(duì)稱軸.

    所以f(-x)=f(+x).

    即sin［2(-x)+φ］=sin［2(+x)+φ］，

    于是有2(-x)+φ=2kπ+2(+x)+φ(舍去),

    或［2(-x)+φ］+［2(+x)+φ］=2kπ+π.

    因?yàn)?π＜φ＜0，∴φ=-π.

(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知φ=-π,因此y=sin(2x-π)，

    由題意得2kπ-≤2x-π≤2kπ+,(k∈Z),

    所以函數(shù)y=sin(2x-π)的單調(diào)增區(qū)間為［kπ+  kπ+π］,k∈Z,

解法2：由y′=2cos(2x-π)≥0可得，

2kπ-≤2x-π≤2kπ+  k∈Z,

    所以函數(shù)y=sin(2x-π)的單調(diào)增區(qū)間為［kπ+,kπ+π］  k∈Z,

(Ⅲ)解法1：因?yàn)閨y′|=|［sin(2x-π)］′|=|2cos(2x-π)|≤2,

    所以曲線y=f(x)的切線斜率取值范圍為［-2,2］，而直線5x-2y+c=0的斜率＞2，所以直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=sin(2x-π)的圖象不相切.

解法2：令F(x)=sin(2x-π)-,

    則F′(x)=2cos(2x-π)-,

∵-1≤cos(2x-π)≤1，

∴F′(x)≠0.

    則直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=sin(2x-π)的圖像不相切.