Question

【題目】由團(tuán)中央學(xué)校部、全國學(xué)聯(lián)秘書處、中國青年報(bào)社共同舉辦的2018年度全國“最美中學(xué)生“尋訪活動(dòng)結(jié)果出爐啦，此項(xiàng)活動(dòng)于2018年6月啟動(dòng)，面向全國中學(xué)在校學(xué)生，通過投票方式尋訪一批在熱愛祖國、勤奮學(xué)習(xí)、熱心助人、見義勇為等方面表現(xiàn)突出、自覺樹立和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀的“最美中學(xué)生”．現(xiàn)隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的票數(shù)，線成如圖所示的莖葉圖，若規(guī)定票數(shù)在65票以上（包括65票）定義為風(fēng)華組．票數(shù)在65票以下（不包括65票）的學(xué)生定義為青春組．

（Ⅰ）在這30名學(xué)生中，青春組學(xué)生中有男生7人，風(fēng)華組學(xué)生中有女生12人，試問有沒有的把握認(rèn)為票數(shù)分在青春組或風(fēng)華組與性別有關(guān)；

（Ⅱ）如果用分層抽樣的方法從青春組和風(fēng)華組中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，那么至少有1人在青春組的概率是多少？

（Ⅲ）用樣本估計(jì)總體，把頻率作為概率，若從該地區(qū)所有的中學(xué)（人數(shù)很多）中隨機(jī)選取4人，用表示所選4人中青春組的人數(shù)，試寫出的分布列，并求出的數(shù)學(xué)期望．

附：；其中

獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界表：

	0.100	0.050	0.010
	2.706	3.841	6.635

Answer 1

【答案】（Ⅰ）沒有的把握認(rèn)為成績分在青春組或風(fēng)華組與性別有關(guān)；（Ⅱ）；（Ⅲ）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為.

【解析】

（Ⅰ）依題意作出列聯(lián)表，由列聯(lián)表計(jì)算出卡方，再跟參考數(shù)據(jù)比較，即可得出結(jié)論；

（Ⅱ）根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；

（Ⅲ）由樣本數(shù)據(jù)得到抽取1名學(xué)生是青春組學(xué)生的概率為，則服從二項(xiàng)分布，顯然的取值為0，1，2，3，4，再列出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望；

解：（Ⅰ）作出列聯(lián)表：

	青春組	風(fēng)華組	合計(jì)
男生	7	6	13
女生	5	12	17
合計(jì)	12	18	30

由列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入公式得，

因?yàn)?/span>，

故沒有的把握認(rèn)為成績分在青春組或風(fēng)華組與性別有關(guān)．

（Ⅱ）用表示“至少有1人在青春組”，則．

（Ⅲ）由題知，抽取的30/span>名學(xué)生中有12名學(xué)生是青春組學(xué)生，抽取1名學(xué)生是青春組學(xué)生的概率為，那么從所有的中學(xué)生中抽取1名學(xué)生是甲組學(xué)生的概率是，又因?yàn)樗�取總體數(shù)量較多，抽取4名學(xué)生可以看出4次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，于是服從二項(xiàng)分布．

顯然的取值為0，1，2，3，4．且，．

所以得分布列為：

	0	1	2	3	4

數(shù)學(xué)期望