Question

12、男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？
（1）男運動員3名，女運動員2名；
（2）至少有1名女運動員；
（3）隊長中至少有1人參加；
（4）既要有隊長，又要有女運動員．

Answer 1

分析：（1）本題是一個分步計數(shù)問題，首先選3名男運動員，有C₆³種選法．再選2名女運動員，有C₄²種選法．利用乘法原理得到結(jié)果．
（2）至少1名女運動員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．分別寫出這幾種結(jié)果，利用分類加法原理得到結(jié)果．本題也可以從事件的對立面來考慮，寫出所有的結(jié)果減去都是男運動員的結(jié)果數(shù)．
（3）只有男隊長的選法為C₈⁴種，只有女隊長的選法為C₈⁴種，男、女隊長都入選的選法為C₈³種，把所有的結(jié)果數(shù)相加．
（4）當有女隊長時，其他人選法任意，共有C₉⁴種選法．不選女隊長時，必選男隊長，共有C₈⁴種選法．其中不含女運動員的選法有C₅⁴種，得到結(jié)果．

解答：解：（1）由題意知本題是一個分步計數(shù)問題，
首先選3名男運動員，有C₆³種選法．
再選2名女運動員，有C₄²種選法．
共有C₆³•C₄²=120種選法．

（2）法一（直接法）：“至少1名女運動員”包括以下幾種情況：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分類加法計數(shù)原理可得有C₄¹•C₆⁴+C₄²•C₆³+C₄³•C₆²+C₄⁴•C₆¹=246種選法．
法二（間接法）：“至少1名女運動員”的反面為“全是男運動員”．
從10人中任選5人，有C₁₀⁵種選法，其中全是男運動員的選法有C₆⁵種．
所以“至少有1名女運動員”的選法有C₁₀⁵-C₆⁵=246種．

（3）“只有男隊長”的選法為C₈⁴種；
“只有女隊長”的選法為C₈⁴種；
“男、女隊長都入選”的選法為C₈³種；
∴共有2C₈⁴+C₈³=196種．
∴“至少1名隊長”的選法有C₁₀⁵-C₈⁵=196種選法．

（4）當有女隊長時，其他人選法任意，共有C₉⁴種選法．
不選女隊長時，必選男隊長，共有C₈⁴種選法．
其中不含女運動員的選法有C₅⁴種，
∴不選女隊長時共有C₈⁴-C₅⁴種選法．
既有隊長又有女運動員的選法共有C₉⁴+C₈⁴-C₅⁴=191種．

點評：本題考查分步計數(shù)原理，考查分類計數(shù)原理，在比較復雜的題目中，會同時出現(xiàn)分類和分步，本題是一個比較綜合的題目．