Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且，AB=1，M是PB的中點．
（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC與PB的夾角的余弦值；
（Ⅲ）求面AMC與面BMC夾角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：建立空間直角坐標(biāo)系，求出A、B、C、D、P、M，的坐標(biāo)
（Ⅰ）通過證明AP⊥DC．利用AD⊥DC，證明DC⊥面PAD．然后證明面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求出與公式y(tǒng)g6d向量，即可利用cos=，求AC與PB的夾角的余弦值；
（Ⅲ）在MC上取一點N（x，y，z），則存在使，求出．說明∠ANM為所求二面角的平面角．利用cos==，即可求面AMC與面BMC夾角的余弦值．
解答：解：以A為坐標(biāo)原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)為．
（Ⅰ）證明：因，，
所以，所以AP⊥DC．
由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，
由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）解：因，
故，，，
所以cos==．
（Ⅲ）解：在MC上取一點N（x，y，z），則存在使，
=（1-x，1-y，y-z），=（1，0，-），
∴x=1-λ，y=1，z=，
要使AN⊥MC，只需，即x-z=0，解得．
可知當(dāng)時，N點的坐標(biāo)（），能使，
此時，有．
由，得AN⊥MC，BN⊥MC，
所以∠ANM為所求二面角的平面角．
∵，，
∴cos==
所以所求面AMC與面BMC夾角的余弦值為．
點評：本題考查平面與平面垂直，直線與直線所成的角，平面與平面的二面角的求法，考查空間想象能力，計算能力．