Question

若橢圓E₁：

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1和橢圓E₂：

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1滿足

a2

a1

=

b2

b1

=m(m＞0)，則稱這兩個橢圓相似，m是相似比．
（Ⅰ）求過（2，

6

)且與橢圓

x2

4

+

y2

2

=1相似的橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過原點的一條射線l分別于（I）中的兩橢圓交于A、B兩點（點A在線段OB上）．求|OA|•|OB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)定義得到有

2 a = 2 b 4 a2 + 6 b2 =1

解得a，b．即可得到與橢圓

x2

4

+

y2

2

=1相似的橢圓方程；
（2）先求出當射線l的斜率不存在時求出結(jié)論；再對當射線l的斜率存在時，設(shè)其方程y=kx，聯(lián)立直線與兩個橢圓方程分別求出線段的長度，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出|OA|•|OB|的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)與

x2

4

+

y2

2

=1相似的橢圓的方程

x2

a 2

+

y2

b 2

=1，
有

a 2 = b 2 22 a 2   + ( 6 )2 b 2   =1

⇒

a=4 b=2 2

．
所求方程是

x2

16

+

y2

8

=1．…（6分）
（Ⅱ）當射線l的斜率不存在時A(0，±

2

)，B(0，±2

2

)．
設(shè)點P坐標P（0，y₀），則y₀²=4，y₀=±2．即P（0，±2）．…（8分）
當射線l的斜率存在時，設(shè)其方程y=kx，P（x，y）
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則

y1=kx1 x 2 1 4 + y 2 1 2 =1

得

x 2 1 = 4 1+2k2 y 2 1 = 4k2 1+2k2

，
∴|OA|=

2 1+k2

1+2k2

，
同理|OB|=

4 1+k2

1+2k2

．…（10分）
當l的斜率不存在時，|OA|•|OB|=

2

•2

2

=4，
當l的斜率存在時，|OA|•|OB|=

8(1+b2)

1+2k2

=4+

4

1+2k2

，
∴4＜|OA|•|OB|≤8，
綜上，|OA|•|OB|的最大值是8，最小值是4．…（12分）

點評：本題綜合考查直線和橢圓的位置關(guān)系，難度較大，解題時要仔細審題，注意公式的靈活運用．