設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=-2ax+4x3．
（Ⅰ） 若f（x）在（0，1]上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ） 是否存在正整數(shù)a，使f（x）的圖象的最高點(diǎn)落在直線y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
因?yàn)楫?dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=-2ax+4x3．
所以當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=f（-x）=2ax-4x3，
∴f(x)=
-2ax+4x3，-1≤x≤0
2ax-4x3，0＜x≤1.

（Ⅰ）由題設(shè)f（x）在（0，1]上為增函數(shù)，∴f'（x）≥0在x∈（0，1]恒成立，
即2a-12x2≥0對(duì)x∈（0，1]恒成立，于是，a≥6x2，從而a≥（6x2）max=6．
即a的取值范圍是[6，+∞）
（Ⅱ）因f（x）為偶函數(shù)，故只需研究函數(shù)f（x）=2ax-4x3在x∈（0，1]的最大值．
令f'（x）=2a-12x2=0，得x=
a
6
．…（8分）
若
a
6
∈（0，1]，即0＜a≤6，則[f(x)]max=f(
 
a
6
)=2a×
 
a
6
-4(
 
a
6
)3＜2a×
 
a
6
≤12，
故此時(shí)不存在符合題意的a；
若
a
6
＞1，即a＞6，則f（x）在（0，1]上為增函數(shù)，于是[f（x）]max=f（1）=2a-4．
令2a-4=12，故a=8．綜上，存在a=8滿足題設(shè)．…（12分）
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
12
對(duì)稱，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

例2．設(shè)f（x）是定義在[-3，
2
]上的函數(shù)，求下列函數(shù)的定義域（1）y=f(
x
-2)（2）y=f(
x
a
)(a≠0)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，而當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，g（x）=-x2+4x-4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）對(duì)任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求證：|f（x2）-f（x1）|＜2|x2-x1|；
（Ⅲ）對(duì)任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求證：|f（x2）-f（x1）|≤1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間（-2，1]上的圖象，則f（2013）+f（2014）=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•內(nèi)江一模）設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=（
1
2
）x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞1）恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是
（
34
，2）
（
34
，2）
．

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